Московский Государственный Университет Природообустройства
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА

Кафедра комплексного использования водных ресурсов

           Содержание
 Введение
 Осн. обозначения

Лекционный курс
 Лекция № 1-2
 Лекция № 3-4
 Лекция № 4-5
 Лекция № 6
 Лекция № 7
 Лекция № 8

Практический курс
 Практика № 1
 Практика № 1-2
 Практика № 2-3
 Практика № 4
 Практика № 5
 Практика № 6
 Практика № 7
 Практика № 8
 Практика № 9

    Литература Рекомендуемая литература 

           Скачать
 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ "ОСНОВЫ ГИДРОФИЗИКИ"
Автор: Козлов Д. В.

  Скачать Методичку

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ "ОСНОВЫ ГИДРОФИЗИКИ"
Автор: Козлов Д. В.

3. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕПЛООБМЕНА

 

3.1. Теплота. Температура. Температурное поле

 

Все изучаемые нами тела имеют различную температуру, т. е. они обладают различной внутренней энергией. Температура тела, выражающая степень его нагретости, является физической характеристикой запаса внутренней энергии, обусловленной кинетической энергией молекул этого тела. Чем выше температура тела, тем больший запас внутренней (тепловой) энергии оно имеет. Из опыта известно, что эта энергия передается от более нагретого тела к менее нагретому или от области тела с более высокой температурой к области с менее высокой. Количество передаваемой энергии в этом процессе называют количеством теплоты.

Таким образом, теплота – синонимы: тепловая энергия, тепло — один из видов энергии, которая представляет собой кинетическую энергию микрочастиц, в основном молекул. Тепловая энергия может превращаться в химическую энергию при изменении агрегатного состояния тела. Например, для того чтобы превратить лед в воду, нужно затратить некоторое количество теплоты; при этом тепловая энергия «уничтожается», а взамен возникает химическая энергия, которую часто называют скрытой теплотой (хотя в действительности теплоты уже не существует, а имеется лишь возможность при определенных условиях превращения химической энергии вновь в тепловую).

Другим видом превращения теплоты является ее переход в электромагнитную энергию. Например, нагретое тело излучает (теряет) тепловую энергию, при этом теплота нагретого тела превращается в электромагнитную энергию.

Кинетическая энергия микрочастиц (т.е. теплота) может превращаться и в механическую (кинетическую или потенциальную) энергию микрочастиц тела; еще чаще встречаются обратные переходы – механической энергии в тепловую, например, при движении воды (диссипация энергии).

Все переходы энергии из одного вида в другой, естественно, подчиняются закону сохранения энергии, что служит основой для составления уравнения энергетического баланса (Лекция №6).

Производными от теплоты являются такие понятия, как

·      тепловой поток – количество теплоты, проходящей через изотермическую поверхность в единицу времени;

·      интенсивность (плотность) теплового потока – тепловой поток, проходящий в единицу времени через единицу площади изотермической поверхности;

·      мощность источника теплоты – количество теплоты, выделяющейся в единицу времени в точке, на поверхности или в объеме;

·      теплосодержание – количество теплоты, содержащейся в теле.

Процесс передачи теплоты в природе от одного тела к другому довольно сложный и часто осуществляется одновременно несколькими путями.

Общее количество передаваемой теплоты измеряется в джоулях (Дж) и обозначается через Q. Джоуль — это единица работы (энергии), произведенной силой в 1 H на пути в 1 м, в случае, когда сила и путь совпадают по направлению.

Индексом Q будем обозначать и количество внутренней энергии (теплоты), которым обладает тело при данной температуре t. Эту энергию принято называть энтальпией. Для однородного тела ее определяют по формуле

Q=crVt,                                  (3.1)

где с — удельная теплоемкость материала тела (см. Лекцию №2); r — плотность материала тела; V — объем тела; m=rVмасса тела.

Энтальпия, как и количество теплоты, измеряется в джоулях.

Из практики известно, что каждая точка природных объектов (грунт, лед, снег, вода и другие вещества) и инженерных сооружений (плотина, разделяющая стенка, трубопровод, железнодорожная насыпь и др.) характеризуется температурой.

Температура – физическая величина, характеризующая тепловое состояние микроскопических объемов тела. Температура позволяет судить не только о тепловой энергии тела, но и о возможностях отдачи или получения тепловой энергии извне, о перераспределении теплоты внутри тела и ее переходе в другие виды энергии.

Два тела могут иметь одинаковую тепловую энергию, но различную температуру; при этом их состояния оказываются весьма разными. Это, прежде всего, различие состояния в данный момент времени, но не менее важно различие, которое представляют оба объекта по вероятности дальнейшего хода тепловых процессов. Так, если имеется водохранилище глубиной 100 м с температурой воды 0,5°С и водохранилище глубиной 10 м с температурой воды 5°С, то хотя их запасы теплоты одинаковы (относительно температурного порога льдообразования – 0°С), при прочих равных условиях ледяной покров раньше образуется на первом водохранилище. Однако даже при одинаковых глубинах и равных запасах тепла условия в двух водохранилищах могут быть весьма разными из-за разного характера распределения температуры по глубине.

Если температура тела изменяется от точки к точке, то оно может быть охарактеризовано пространственным температурным полем, а если температура изменяется к тому же и во времени, то пространственно-временным. Температурное поле может быть представлено в виде функциональной зависимости

t =f1 (x, у, z, τ),                                    (3.2)

где х, у, z координаты точки; τ — время.

Таким образом, совокупность температур всех точек тела в какой-либо момент времени называется температурным полем.

Температурные поля подразделяют на стационарные и нестационарные. Если температура тела является функцией координат и времени, что соответствует зависимости (3.2), то такое температурное поле будет нестационарным (градиент температуры по времени t/∂τ ≠ 0). В том случае, когда температура тела с течением времени не изменяется (t/∂τ = 0) и является функцией только координат, температурное поле будет стационарным:

t =f2 (x, у, z).                                      (3.3)

Различают температурные поля трехмерные (пространственные), двухмерные (плоские) и одномерные (линейные). К первым относятся поля, описываемые зависимостями (3.2) и (3.3), ко вторым — поля, описываемые зависимостями:

t =f3 (x, у, τ),                                       (3.4)

t =f4 (x, у),                                           (3.5)

к третьим — поля, описываемые зависимостями:

t =f5 (x, τ),                                           (3.6)

t =f6 (x).                                               (3.7)

Соединим в двухмерном температурном поле точки с одинаковой температурой — получим систему линий, соответствующих выбранной температуре. Эти линии называются изотермами. Они не пересекаются и заканчиваются на контуре или же замыкаются сами на себя (рис. 3.1).

Выделим какие-либо две расположенные рядом изотермы, например, с температурой t и t - ∆t, и проследим между ними расстояние n. Оно окажется различным.

Отношение перепада температуры t к расстоянию между изотермами n по нормали n при стремлении n к нулю называют градиентом температуры, т. е.

(3.8)

 

Градиент температуры наибольший там, где расстояние по нормали между изотермами наименьшее, и наоборот.

Градиент температуры — вектор, направленный по нормали к изотерме в сторону возрастания температуры. Поэтому в направлении убывания температуры он отрицательный.

 

Рис. 3.1. Двухмерное температурное поле (водоем в плане) [8]

1 — изотерма, 2 — линия тока теплоты.

 

Температурное поле дает исчерпывающую информацию о тепловом состоянии тела и обладает следующими свойствами:

·      температура в теле меняется во всех направлениях непрерывно; никаких скачков температуры в теле нет;

·      между точками, имеющими разные температуры, непременно имеются точки со всеми промежуточными температурами;

·      изотермические поверхности всегда замкнуты на себя или на границы тела;

·      любое тело может быть представлено как совокупность бесконечного числа примыкающих друг к другу изотермических поверхностей;

·      изотермические поверхности не могут пересекать друг друга (так как одна и та же точка тела не может иметь одновременно две температуры), но одно тело может иметь несколько одинаковых изотерм;

·      поверхности максимальных градиентов не имеют разрывов, но могут иметь изломы и, кроме того, в отличие от изотермических поверхностей значения градиентов могут меняться скачкообразно;

·      в твердом изотропном теле поверхности максимальных градиентов являются одновременно поверхностями, совпадающими с направлением теплового потока.

 

3.2. Тепловой поток. Коэффициент теплопроводности

 

Пусть в среде имеют место различные значения температуры, т. е. имеется градиент температуры, тогда в этой среде будет существовать тепловой поток (распространение теплоты). Тепловой поток направлен в сторону убывания температуры. Линии теплового потока совпадают с линиями максимальных градиентов лишь в изотропных телах, где они создают с изотермами криволинейную, но ортогональную сетку.

Французский ученый Фурье, изучая перенос теплоты в средах, открыл эмпирический закон, согласно которому удельный тепловой поток (или интенсивность теплового потока) прямо пропорционален градиенту температуры:

q = λ (- t/n),                                          (3.9)

где λ коэффициент пропорциональности; n нормаль к изотермической поверхности.

Формула (3.9) в настоящее время носит название закона Фурье. Коэффициент пропорциональности λ называют коэффициентом теплопроводности. Для получения положительного значения теплового потока в уравнении (3.9) необходимо ставить знак минус.

Зная удельный тепловой поток, можем определить тепловой поток, проходящий через некоторую площадь F, выделенную на изотермической поверхности:

Q = qF = - λ t/n F.                              (3.10)

Теплопроводность вещества, в частности воды и льда, имеет исключительное значение в природе. Благодаря теплопроводности (передаче теплоты) происходит выравнивание температуры в теле или среде. В твердых телах передача теплоты (теплопередача) осуществляется от молекулы к молекуле вследствие их соприкосновения. Для твердых тел она является единственно возможной и называют ее кондукцией, касанием или молекулярной. В жидких средах молекулярная теплопередача играет существенную роль только в том случае, если жидкость находится в покое. Для жидкостей, в том числе и для воды, характерно существование еще двух видов теплопередачи, обусловленных турбулентностью потока и конвекцией.

Характеристикой молекулярной теплопередачи является коэффициент теплопроводности λ. Он является физическим параметром вещества и зависит от его структуры, плотности, влажности, температуры и давления. Коэффициент теплопроводности определяется опытным путем с использованием уравнения (3.10), которое можно представить в виде

λ = -Q/[ Δt/(Δn)],                             (3.11)

где τ — время.

Численно коэффициент теплопроводности равен количеству теплоты, которая проходит через 1 м2 изотермической поверхности в 1 ч при слое вещества в 1 м и разности температуры на границах слоя в 1°С.

По теплопроводности материалы подразделяются на твердые тела, газы и жидкости.

Коэффициент теплопроводности твердых тел составляет 20—400 Вт/(м·°С) (металлы) и 0,02—3,00 Вт/(м·°С) (строительные материалы), газов — 0,005—0,500 Вт/(м·°С) и жидкостей 0,08—0,70 Вт/(м·°С).

Коэффициент теплопроводности большинства жидкостей с повышением температуры убывает. Вода в этом отношении является исключением. С увеличением температуры от 0 до 127°С коэффициент теплопроводности воды увеличивается, а при дальнейшем возрастании температуры — уменьшается (рис. 3.2). При 0°С коэффициент теплопроводности воды равен 0,569 Вт/(м·°С). С увеличением минерализации воды коэффициент ее теплопроводности уменьшается, но очень незначительно.

 

Рис. 3.2. Зависимость коэффициента теплопроводности от температуры [8]

1 — лед; 2 и 3 вода и переохлажденная вода.

 

Давление оказывает влияние на теплопроводность жидкости, однако, в большей степени на теплопроводность газов. У воды теплопроводность при изменении давления в больших пределах практически не меняется. Это связано с малой сжимаемостью воды, которая определяется характером сил межмолекулярного взаимодействия.

Как вода среди жидкостей, так и лед среди твердых материалов являются исключением по проводимости теплоты. С повышением температуры коэффициент теплопроводности пресноводного льда не повышается, а понижается, достигая при 0°С 2,24 Вт/(м·°С) (рис. 3.2). Эта связь близка к линейной и может быть выражена, по данным Якоба и Эрка, эмпирической формулой

λл = 2,24 (1-0,0048t),                               (3.13)

где t температура льда с учетом знака, °С.

Теплопроводность соленого льда уменьшается с ростом его солености, но увеличивается с понижением температуры, так как при этом возрастает концентрация рассола во льду.

Для ледяного покрова озер и рек характерно распределение коэффициента теплопроводности по его толщине. Это обусловлено более высокой температурой льда в нижних слоях (на нижней границе 0°С) и низкой температурой в расположенных выше слоях, а также пористостью, которая в верхних слоях больше, чем в нижних.

 

3.3. Теплопередача и теплоотдача

 

Понятие теплопередача (теплообмен) охватывает совокупность явлений передачи теплоты из более нагретой подвижной среды в другую, менее нагретую, через разделяющую их твердую стенку. Например, теплопередача от воды к воздуху, между которыми расположена стенка. Твердая стенка может быть и многослойной. Например, при рассмотрении переноса теплоты от воды, движущейся по трубопроводу теплотрассы, к окружающему воздуху.

Теплоотдача также охватывает совокупность явлений переноса теплоты только между поверхностью твердого тела и жидкой или газообразной подвижной средой. В практике гидрологов и метеорологов часто встречаются задачи о теплообмене между двумя подвижными средами, исключая твердую стенку, — это случай теплоотдачи водной поверхностью в окружающую ее среду — воздух.

В широком понимании теплопередача и теплоотдача осуществляются теплопроводностью, конвекцией, лучистым теплообменом, при изменении агрегатного состояния вещества, биологических процессах в живых организмах и др. Способы передачи тепла (теплоперенос или теплопередача) в твердом теле и в жидкости различны.

Перенос теплоты вследствие теплопроводности подчиняется закону Фурье. Рассматриваемая форма переноса теплоты в основном присуща твердым телам, в которых теплота распространяется передачей кинетической энергии от одних микрочастиц к другим путем соударений; перемещение самих частиц в твердом теле, естественно, исключено. Теплопроводность имеет место также в жидкостях и газах (воздухе). Но в последних теплота передается также путем перемещения частиц, носителей тепловой энергии. Такой способ называется конвективным теплопереносом. Заметим, что в первом случае теплота передается, а носители теплоты, частицы жидкости, остаются на месте, в то время как во втором случае теплота переносится вместе с жидкостью. Таким образом, в жидких и газообразных средах теплопроводность проявляется в чистом виде лишь в том случае, когда наблюдается прямая стратификация плотности. Для воды такому состоянию плотности соответствует повышение температуры с высотой при ее значении более 4°С и понижение с высотой — при ее температуре менее 4°С.

Перенос теплоты конвекцией происходит в результате перемещения частиц теплоносителя и наблюдается только в жидких и газообразных средах. В зависимости от причины, побуждающей частицы жидкости перемещаться, различают свободную и вынужденную конвекции.

Свободной (естественной, плотностной) конвекцией называется движение жидкости (газа), вызываемое неоднородностью плотности частиц жидкости (газа), находящихся в поле тяготения. Поэтому свободно конвективный перенос теплоты  обусловлен перемещением частиц жидкости лишь в силу изменения их плотности, что, в свою очередь, обусловлено нагреванием или охлаждением ее или изменением концентрации (солености). Например, если воду в сосуде, находящуюся при температуре выше 4°С, охлаждать сверху, то в воде возникнет свободная конвекция, т. е. активный перенос частиц воды снизу вверх. Одновременно будет происходить перенос более охлажденных частиц в обратном направлении. В этом случае наблюдается нестационарная свободная конвекция. Увеличение плотности поверхностных слоев водоема может произойти также за счет увеличения мутности, обусловленной притоками, или осолонения при испарении.

Вынужденной конвекцией называется движение жидкости (газа), вызываемое воздействием внешних сил (ветер, насос и т.д.), а также однородного поля массовых сил в жидкости (уклон и т.д.). Таким образом, перенос теплоты вынужденной конвекцией обусловлен турбулентным перемешиванием водных или воздушных масс потока, а также связан с переносом теплоносителя. При вынужденной конвекции осуществляется перенос тепла, связанный, например, с течением водных и воздушных потоков, с ветровым перемешиванием и ветровым течением водных масс суши. В отличие от свободной конвекции при вынужденной конвекции происходит полярный перенос водных масс, а не молекулярный, т. е. перенос больших объемов жидкости.

Таким образом, гидравлика жидкости (поле скоростей) при вынужденной конвекции мало зависит от температуры и поэтому может и должна определяться до начала теплового расчета; она является заданным условием решения тепловой задачи, в то время как гидравлика при свободной (естественной) конвекции прямо связана с тепловым режимом рассматриваемого водного объекта, и поэтому здесь вопросы гидравлики и термики должны рассматриваться совместно, что принципиально существенно усложняет задачу.

Часто имеет место одновременно вынужденная и свободная конвекция.

Третья форма передачи теплоты обусловлена лучистым (радиационным) теплообменом и совершается путем двойного превращения энергии: сперва из тепловой в электромагнитную в месте излучения, а затем, после того как она прошла весь путь в теплопрозрачной среде, обратно в тепловую в месте поглощения. Таким образом, эта форма передачи теплоты характеризуется тем, что часть энергии тела, определяемая температурой его поверхности, преобразуется в энергию теплового излучения и уже в таком виде передается в окружающее пространство. Встречая на своем пути другое тело, лучистая энергия частично отражается от его поверхности и частично поглощается им, т. е. проникает на некоторую его глубину, зависящую от прозрачности тела.

Скорости передачи теплоты указанными способами различны. Радиационным способом совершается практически мгновенная передача теплоты; так, в воздухе скорость передачи равна 300 000 км/с. При конвективном способе скорость передачи теплоты полностью зависит от скорости движения жидкости; так , например, в реке она может составлять 1-2 м/с.

Особая форма передачи теплоты имеет место в случае изменения агрегатного состояния вещества, например при кристаллизации воды и таянии льда, при конденсации водяного пара и испарении воды и т. д.

Биологические и химические процессы также сопровождаются тепловыми процессами. При кристаллизации и конденсации воды и биологических процессах происходит выделение теплоты, а при испарении воды, таянии льда — ее поглощение.

 

3.4. Количественная оценка конвективной теплоотдачи

 

При передаче теплоты конвекцией интенсивность теплового потока прямо пропорциональна температуре жидкости или газа в данной точке и скорости течения в данном направлении

q = c r vi t,                                (3.14)

где  vi  - проекция скорости движения жидкости v на направление i.

Особый интерес представляет определение передачи теплоты у границ жидкости, например от речного потока к его ложу или от воздушного потока к поверхности ледяного покрова. Как известно, в непосредственной близости от границы скорость жидкости (газа) равна нулю, здесь теплота передается через пограничный слой механизмом конвективной теплопроводности. А конвективный теплообмен в природе определяется разницей между температурой подстилающей поверхности (может быть как твердой, так и жидкой) и температурой находящейся над ней жидкой или газообразной среды, в которой имеет место молярный перенос теплоты.

Принимая температуру подстилающей поверхности за tп, а температуру прилегающей к этой поверхности окружающей подвижной среды за θ, по закону Ньютона можно определить количество теплоты Qк (Вт/м2), теряемое 1м2 этой поверхности в единицу времени (интенсивность теплового потока при передаче теплоты конвекцией):

Qк = α (tп – θ),                              (3.15)

где α — эмпирический коэффициент теплоотдачи от подстилающей поверхности в окружающую среду.

Следует заметить, что зависимость (3.15) – далеко не физический закон, так как постоянная α скрывает, а не раскрывает множество различных факторов, от которых зависит теплоперенос к поверхности. Соотношение (3.15) получило широкое распространение благодаря тому, что оно позволяет резко упростить расчеты; кроме того, его определению посвящено много экспериментов, постановка и обработка результатов которых основывается на теории подобия.

Коэффициент теплоотдачи α определяется экспериментально. Он зависит от большого числа характеристик подстилающей поверхности и окружающей среды: шероховатости (формы) подстилающей поверхности, скорости движения, температуры и физических параметров окружающей среды.

В настоящее время существует много эмпирических формул по его оценке, полученных для различных подстилающих поверхностей, которые используются в практике гидрологами и гидротехниками:

1)      при теплоотдаче от поверхности воды к воздуху

α1 = 2,65 [1 + 0,8ω + f(Δθ)],                               (3.16)

где ω скорость ветра на высоте 2 м над водной поверхностью, м/с; f(Δθ) — табличная функция, определяемая разностью температуры воды и воздуха (tп – θ);

2)      при теплоотдаче от воды к нижней поверхности льда

 

 (3.17)

где υ средняя скорость течения воды подо льдом за время ледообразования, м/с;

3)    при теплоотдаче от поверхности льда к воздуху (при отсутствии снега на льду)

 

 (3.18)

 

3.5. Количественная оценка лучистого теплообмена

 

Выше отмечалось, что природа лучистого теплообмена магнитоэлектрическая. Количество энергии излучения зависит от температуры излучающего тела. Каждое тело способно не только излучать, но и отражать, поглощать и пропускать через себя падающие на него тепловые лучи от другого тела.

Рассмотрим лучистый теплообмен в системе Солнце — Земля. Энергия (солнечная радиация), обусловленная температурой Солнца, проходя атмосферу Земли, частично поглощается содержащимися в ней водяными парами и атмосферными газами, а частично ими и взвешенными в воздухе коллоидными частицами рассеивается. В результате указанных процессов дошедшая до Земли так называемая прямая солнечная радиация (Qп.р) как количественно, так и качественно отличается от солнечной радиации на верхней границе атмосферы. Количество солнечной энергии, поступающей на поверхность Земли, зависит от географической широты и изменяется в связи с изменением астрономических и метеорологических условий.

Та часть солнечной радиации, которая рассеивается в атмосфере, также частично достигает поверхности Земли в виде так называемой рассеянной радиации (qр.р). По отношению к прямой радиации она может составлять в облачную погоду до 60 % и более. Сумму прямой и рассеянной радиации принято называть суммарной солнечной радиацией. Различают суммарную радиацию при безоблачном небе (I0) и при наличии облаков (I1).

Количество суммарной солнечной радиации при безоблачном небе I0=(Qп.р+qр.р)0 находят по таблицам, или оно может быть вычислено по формулам, например по формуле М. Е. Берлянда.

При наличии облаков суммарная солнечная радиация определяется по формуле:

I1 = I0 [1 - (a1-b1n0) n0],                            (3.19)

где n0 – общая облачность в долях единицы; b1 = 0,38; a1 - коэффициент, зависящий от широты, определяется по таблице.

Отражение лучистой энергии. Достигнув земной поверхности, солнечная радиация частично поглощается ею, повышая температуру этой поверхности, а частично отражается в атмосферу. Отражение лучистой энергии поверхностью тела может быть зеркальным, диффузным и общим. При зеркальном (направленном) отражении угол падения луча на отражающую поверхность равен углу отражения. Этот вид отражения свойствен поверхностям, неровности которых малы по сравнению с длиной волны падающей радиации.

Для характеристики отражательной способности поверхности почвы, воды, снега, льда и т. д. при зеркальном отражении лучистой энергии в гидрометеорологии используют коэффициент отражения r, а при диффузном — коэффициент A альбедо.

Альбедо — это отношение интенсивности радиации, отраженной данной поверхностью, к интенсивности радиации (прямой и рассеянной), падающей на нее, в процентах или в долях единицы.

В настоящее время рассчитаны таблицы значений альбедо для различных поверхностей в зависимости от географической широты ее месторасположения и высоты стояния Солнца. Зная альбедо поверхности, можно рассчитать суммарную радиацию, проникающую в среду:

I = (1 - A) I0 [1 - (a1-b1n0) n0].                  (3.20)

Альбедо зависит также и от характеристики поверхности.

Поглощение и пропускание лучистой энергии. Часть лучистой энергии от внешнего источника излучения проникает внутрь тела, представляющего собой прозрачную или полупрозрачную среду для тепловых лучей. В первом случае среда характеризуется коэффициентом пропускания d, а во втором — коэффициентом поглощения а. При прохождении лучистой энергии через полупрозрачную среду (вода, снег, лед и т. д.) она частично поглощается, частично рассеивается, а часть ее, в зависимости от толщины слоя среды, может пройти сквозь толщу и поглотиться подстилающей поверхностью. Поглощение, рассеивание и пропускание среды зависит от физической природы и формы тела, а также от длины волны излучения.

Результаты наблюдений за проникающей радиацией, выполненных на различных водных объектах РФ, приведены на рис.3.3. Из рисунка видно, что убывание радиации с глубиной в озере Красавица и Цимлянском водохранилище происходит очень быстро. На глубине 1 м радиация составляет всего лишь сотые доли падающей на водную поверхность. В озере Севан и Черном море радиация проникает глубже, что объясняется повышенной прозрачностью этих водоемов.

Лучистая энергия Солнца, проникающая во встреченную ею среду (земную поверхность), повышает ее температуру. Земная поверхность, в свою очередь, излучает теплоту. Разность между собственным излучением земной поверхности и поглощаемым ею встречным излучением атмосферы называют эффективным излучением земной поверхности Iэф. Эффективное излучение зависит от температуры излучающей поверхности и воздуха, а также от влажности и стратификации в приземном слое атмосферы.

Рис. 3.3. Зависимость отношения Iz / I от глубины z для различных

водоемов [8]

1 — оз. Красавица, 2 — Цимлянское водохранилище,

3 — прибрежный район Черного моря, 4 — оз. Севан.

 

Разность между поглощенной суммарной радиацией и эффективным излучением земной поверхности называют радиационным балансом земной поверхности и записывают в следующем виде:

QR = I - Iэф                                    (3.21а)

или

QR = (1 - A) (Qп.р + qр.р) - Iэф,                   (3.21в)

где (Qп.р + qр.р) и Iэф — суммарная солнечная радиация и эффективное излучение при облачности.

3.6. Количественная оценка теплоты при изменении

агрегатного состояния вещества

 

В природе встречаются среды, в которых при изменении их агрегатного состояния происходит либо поглощение теплоты, либо ее выделение. К таким средам, в первую очередь следует отнести воду, снег, пар, мерзлый грунт.

Так, например, процессы испарения воды, возгонки льда и снега, таяния снега, льда и мерзлого грунта сопровождаются поглощением теплоты, а обратные процессы — замерзание воды, конденсация и сублимация водяного пара — выделением теплоты. При переходе воды в пар поглощается теплота в количестве 2500 кДж/кг, а при обратном процессе — конденсации — выделяется такое же количество теплоты. При переходе воды в лед выделяется 334 кДж/кг, а при обратном процессе — плавлении льда — поглощается такое же количество теплоты.

В теории теплопередачи случай, когда происходит выделение теплоты рассматриваемой средой в окружающее ее пространство, принято называть источником, а случай, когда происходит поглощение теплоты этой среды из окружающего пространства,— стоком. Количество теплоты характеризуется интенсивностью тепловыделения или теплопоглощения и зависит от мощности источников и стоков.

1.    Количественная оценка теплообмена при испарении воды. Количество теплоты, теряемой водой при ее испарении (теплоотдача в атмосферу) или приобретаемой при конденсации, в расчете на единицу площади поверхности, определяется по формуле

Qи = LиrE,                                   (3.22)

где Qи в Вт/м2, Lи — удельная теплота испарения (для практических целей в диапазоне температуры воды от 0 до 30°С ее принимают приблизительно равной 2500 кДж/кг.) (теплота конденсации) воды, r — плотность воды, Е слой испарившейся (сконденсировавшейся) воды в единицу времени, м/ч.

Количество теплоты, теряемое водой при испарении, определяемом, например, по формуле Б.Д.Зайкова, с использованием выражения (3.22) можно оценить следующим образом:

Qи = 4,1 (1 + 0,72w2)(e0 - e2),                              (3.23)

где w2 скорость ветра на высоте 2 м над поверхностью воды, e0 — давление насыщенного водяного пара в воздухе при температуре испаряющей поверхности, e2 — парциальное давление водяного пара на высоте 2 м.

2.    Количественная оценка теплообмена при замерзании воды. Количество теплоты, выделяемой объемом воды с единичной площадью поверхности в окружающую среду при ее замерзании или приобретаемой из окружающей среды при обратном процессе, т. е. плавлении льда и снега, определяется по формуле

Qкр = Lкрrh,                                 (3.24)

где Qкр в Вт/м2; Lкр — удельная теплота кристаллизации воды (удельная теплота плавления льда — Lпл); r — плотность воды; h — слой кристаллизующейся воды в единицу времени, м/ч.

 

3.7. Количественная оценка теплопередачи

 

Для удельного теплового потока от воды к воздуху (передача теплоты) с учетом коэффициента теплопередачи K примет вид

q = K (tв - q),                                (3.25)

тогда общий поток через поверхность F

Q = KF (tв - q),                             (3.26)

Разность значений температуры tв-q в этой формуле называют температурным напором.

Из формулы (3.26) следует, что если необходимо увеличить теплоотдачу Q, то нужно уменьшить термическое сопротивление стенки и, наоборот, для уменьшения теплоотдачи — увеличить его.

3.8. Дифференциальное уравнение теплопроводности

 

Рассмотренные выше основные закономерности тепловых процессов, протекающих в природе, описывают стационарные температурные поля. Однако часто приходится сталкиваться с нестационарными температурными полями, т. е. с такими полями, значения температуры которых меняются в каждой точке во времени. Для них закон Фурье и другие, справедливы, если рассматривать их в каждый момент времени. Тепловой процесс, протекающий во времени, можно описать дифференциальным уравнением. Такое уравнение получил Фурье. В основе этого уравнения лежит закон сохранения энергии, который в рассматриваемом случае может быть сформулирован следующим образом: количество теплоты, введенное в элементарный объем извне за время dt вследствие теплопроводности равно изменению внутренней энергии вещества, содержащегося в этом объеме. Ниже приведем вывод этого уравнения.

Рис. 3.4. Схема к выводу дифференциального уравнения теплопроводности [8]

Выделим в однородном и изотропном твердом теле (в системе декартовых координат x, y, z) элементарный параллелепипед с гранями dx, dy, dz (рис. 3.4) и рассмотрим баланс теплоты для этого объема. В пределах выделенного объема температура меняется в трех направлениях, соответственно по осям x, y, z. Следовательно, через три грани рассматриваемого параллелепипеда в направлении трех осей будет входить количество теплоты, равное Q1, Q3, Q5 и, соответственно, через три противоположные грани будет выходить количество теплоты, равное Q2, Q4, Q6.

Если количество теплоты, входящее в выделенный элементарный объем, не равно выходящему из него, то произойдет изменение энтальпии этого объема, которое обозначим через Q7.

Составим уравнение теплового баланса для выделенного объема вещества:

Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q5 + Q6 = Q7.         (3.27)

Определим составляющие этого уравнения. Согласно формуле (3.10), имеем:

 

 

 

 

 

(3.28)

 

 

 

 

 

 

Согласно формуле (3.1),

(3.29)

В уравнениях (3.28) и (3.29) qx, qy, qz — удельные тепловые потоки через грани соответственно в направлении осей х, у, z; qx/х, qy/у, qz/z изменение удельных тепловых потоков внутри выделенного объема по осям х, у, z; t/τ — изменение температуры этого объема за время dτ.

Решая совместно уравнения (3.27) – (3.29), одновременно проводя деление каждого слагаемого на dx, dy, dz, dτ и на сρ, получаем

 

(3.30)

 

Выразим удельные тепловые потоки в уравнении (3.30) согласно закону Фурье (3.9). Тогда

 

(3.31)

 

 

или

t/τ = a (2t/x2 + 2t/y2 + 2t/z2),                    (3.32)

 

где a = λ / (cρ)—коэффициент температуропроводности.

Уравнение (3.32) носит название дифференциального уравнения теплопроводности в декартовых координатах.

Обозначив

2t/x2 + 2t/y2 + 2t/z2 = Ñ 2t,                           (3.33)

где — оператор Лапласа, получим более короткую запись уравнения теплопроводности:

t/τ = a Ñ 2t.                                (3.34)

 

Уравнение (3.32) описывает нестационарное пространственное температурное поле. Для нестационарного двухмерного температурного поля оно имеет вид

t/τ = a (2t/x2 + 2t/y2),                      (3.35)

а для нестационарного одномерного

t/τ = a 2t/x2.                                  (3.36)

Если наблюдается температурное поле с неменяющейся температурой по времени, т. е. t/τ = 0, то дифференциальное уравнение теплопроводности (3.32) принимает вид уравнения Лапласа:

2t/x2 + 2t/y2 + 2t/z2 = 0.                   (3.37)

Соответственно для двухмерного температурного поля

2t/x2 + 2t/y2= 0,                                  (3.38)

для одномерного

2t/x2 = 0.                                    (3.39)

Температурные поля, описываемые уравнениями (3.37) - (3.39), носят название стационарных полей. Из этих уравнений следует, что температурные поля тел при стационарном режиме не зависят от коэффициента температуропроводности a и, следовательно, от коэффициента теплопроводности λ.

 

3.9. Дифференциальное уравнение теплопроводности

с источником теплоты

 

При выводе уравнения теплопроводности (3.32) предполагалось отсутствие внутренних источников или стоков теплоты. Однако есть среды, внутри которых могут протекать те или иные процессы с выделением (источник) или поглощением (сток) теплоты. К таким средам, относятся вода, лед, снег, пар, а также металлы, бетон, химические и другие вещества. Процесс испарения воды, таяния льда и снега сопровождается поглощением теплоты, а обратный ему процесс — замерзание воды — выделением теплоты. При этом теплота источника или стока может зависеть не только от координат тела, но и от его температуры и ее распределения в теле.

При наличии источника или стока уравнение теплового баланса (3.27) должно быть дополнено еще одним членом, учитывающим их теплоту, а именно:

Q8 = W dxdydzdτ,                         (3.40)

где Q8 — количество теплоты, выделенное или поглощенное средой в объеме xyz за время dτ; W интенсивность источника или стока.

С учетом дополнительного члена (3.40) уравнение теплопроводности (3.32) запишем в следующем виде:

(3.41)

 

или

 

          (3.42)

 

В том случае, когда в среде имеют место поглотители (сток) тепловой энергии, перед вторым слагаемым правой части уравнения следует ставить знак минус.

 

3.10. Условия однозначности

 

Полученное выше дифференциальное уравнение теплопроводности описывает явление передачи теплоты в самом общем виде. Чтобы решить с помощью этого уравнения конкретную задачу, отличающуюся какими-либо условиями от сотни других задач, необходимо сформулировать для нее еще и так называемые условия однозначности – совокупность всех условий, которыми задача однозначно определяется (само уравнение теплопроводности или теплового баланса в них не входит).

Условия однозначности состоят:

1)    из геометрических условий, характеризующих форму и размеры тела или системы тел, в которых протекает тепловой процесс;

2)    из физических условий, характеризующих физические свойства рассматриваемой среды и тела;

3)    из временных условий, характеризующих распределение температуры в рассматриваемой среде или теле в начальный момент времени. По этой причине эти условия называют еще и начальными условиями;

4)    из граничных условий, характеризующих взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей его средой.

Совокупность последних двух условий (начальных и граничных) называется краевыми условиями, так как первые находятся на начальном «краю» времени, а вторые – на геометрических «краях» тела.

Начальные условия заключаются в задании распределения поля значений температуры в начальный момент времени (τ=0), т.е. предшествующий расчетному. Они должны быть заданы в виде функций:

1) tτ = 0 = f1 (x, у, z) - для пространственной задачи,

2) tτ = 0 = f2 (x, у) - для плоской задачи,

3) tτ = 0 = f3 (x) - для линейной задачи.

В большинстве случаев эти условия могут быть заданы с достаточной определенностью в виде конкретной функции, таблицы или в форме графика (например, распределение температуры по толщине слоя воды).

Граничные условия – тепловые условия у поверхности тела, которые задаются в более сложном виде. При решении задач теплопроводности принято различать четыре наиболее часто встречающихся способа задания граничных условий, так называемые граничные условия первого, второго, третьего, четвертого и пятого рода.

1. Граничные условия первого рода заключаются в том, что задается температура во всех точках поверхности тела в течение времени τ:

tп = f4 (X, Y, Z, τ),                                     (3.43)

где X, Y, Z координаты поверхности.

2. Если количество теплоты, поступающей извне в тело, известно (или задано), то такое граничное условие называют граничным условием второго рода и оно заключается в том, что задается удельный тепловой поток по закону Фурье через поверхность тела в течение времени τ:

qп = - λ t/n.                                           (3.44)

Как и в предыдущем случае, эта функция может быть произвольной и непрерывной:

qп = f5 (X, Y, Z, τ).                                    (3.45)

3. Граничные условия третьего рода заключаются в задании температуры поверхности тела и окружающей его среды и задании теплообмена (коэффициента теплопередачи) между поверхностью этого тела и окружающей средой по закону Ньютона. Таким образом, количество теплоты, отдаваемое (или получаемое) единицей поверхности с температурой tп за единицу времени в окружающую среду с температурой tс, прямо пропорционально разности температуры поверхности и окружающей среды:

qп = a (tп - tс).                                            (3.46)

Количество теплоты, отдаваемое (или получаемое) поверхностью в окружающую среду и определяемое по формуле (3.46), должно быть равно количеству теплоты, подводимому к этой поверхности за счет теплопроводности, которое определяется по закону Фурье (3.44). Приравняв эти потоки, получим новое выражение для задания граничных условий третьего рода:

(3.47)

 

 

где — градиент температуры у поверхности и по нормали к ней.

 

В условии (3.47) должны быть заданы коэффициент теплоотдачи a и температура окружающей тело среды tс.

4.    Граничные условия четвертого рода заключаются в том, что задается равенство температуры на поверхности раздела двух тел или тела с окружающей средой при подходе к ней с двух сторон, а также удельных тепловых потоков по закону Фурье в предположении, что между этими телами осуществляется идеальный контакт.

5. При наличии на поверхности тела слоя, имеющего очень высокую теплопроводность, например, слоя ветрового перемешивания в водохранилище, и заданного количества теплоты, поступающего в слой извне, имеем граничное условие пятого рода.

Практически важным является граничное условие четвертого рода при наличии на границе источника (стока) теплоты, возникающего от изменения агрегатного состояния, например, при промерзании грунта.

Возможны и некоторые другие граничные условия; так, часто встречается совмещение граничных условий второго и третьего родов, которое производится путем замены действительной температуры окружающей среды эквивалентным значением.

 

3.11. Методы решения задач

 

Для решения задачи о распределении температуры в пределах заданного поля и в расчетный период времени с помощью полученных выше уравнений помимо краевых условий необходимо располагать методом решения этих уравнений.

За 175 лет со времени выхода в свет «Аналитической теории тепла» — классической работы Фурье, теория теплообмена обогатилась рядом таких методов. Первый из них был предложен самим Фурье и известен как «решения в рядах Фурье».

Все эти методы могут быть распределены по следующим группам: аналитические, конечных разностей (графический, численный), исследования температурных полей на моделях (физический), аналоговых и счетных машин.

К настоящему времени наиболее разработаны методы решения уравнения теплопроводности для одномерных задач, как раз тех задач, с которыми преимущественно имеют дело гидрологи и гидротехники.

Аналитические методы решения уравнения теплопроводности состоят в том, что, пользуясь полной математической формулировкой задачи, находят ее аналитическое решение. При этом следует искать уже готовое решение, а не новое. Для этого необходимо обратиться, прежде всего, к монографиям Г.Карслоу и Д.Егер, А. В. Лыкова и др., в которых приведен набор решений различных задач. При отсутствии готового решения целесообразно попытаться найти его в виде суммы (комбинации) имеющихся решений, пользуясь известным принципом суперпозиции. Достоинством этих методов является точность решений; она зависит лишь от точности закладываемых исходных данных и точности производимых вычислений. При решении задачи возможно использование ЭВМ. Температура рассчитывается для любой точки тела и для любого момента времени независимо от расчетов за предшествующие интервалы времени. Недостатком является ограниченность круга задач, для которых могут быть получены решения.

Метод конечных разностей состоит в том, что в дифференциальном уравнении теплопроводности, которое следует решить, все бесконечно малые разности (дифференциалы) заменяются конечными, но малыми разностными величинами. Следовательно, истинное непрерывное в пространстве распределение температуры и непрерывный во времени ход температуры заменяется приближенными прерывистыми значениями, осредняющими температуру конечных малых участков тела ∆x, ∆y, ∆z и малых промежутков времени ∆τ. Достоинством метода является возможность решить весьма сложные задачи, в том числе для тел сложной формы. Метод позволяет использование ЭВМ. К недостаткам метода относятся: отсутствие общего решения задачи; необходимость производства вычислений для всего тела и для всего периода, предшествующего моменту времени, для которого производится вычисление температуры; трудоемкость метода.

Метод исследования температурных полей на моделях (физическое моделирование) является экспериментальным методом решения теплотехнических задач. Он опирается на теорию подобия и применяется в тех случаях, когда аналитические и другие методы не могут дать ответ. Суть метода состоит в том, что исследование процессов и явлений, протекающих в изучаемом объекте, заменяется исследованием их протекания на его модели. Данные, полученные на модели, позволяют судить о тех же процессах и явлениях, протекающих на объекте. Существенным достоинством данного метода является возможность решения сложных задач и исследования недоступных объектов.

Метод аналоговых и счетных машин (метод аналогий) состоит в том, что решение тепловой задачи заменяют уже имеющимся решением задачи другой физической сущности, в которой уравнения и краевые условия совпадают с первой задачей, хотя размерности у них различны (метод ЭТА).

 

3.12. Определение коэффициента теплопроводности

 

Коэффициент теплопроводности, характеризующий способность вещества проводить теплоту, может быть определен по формуле (3.10), в конечных разностях имеющей вид

λ = Q/(F t/∆n).                                       (3.48)

Из формулы (3.48) следует, что коэффициент теплопроводности численно равен количеству теплоты, которое проходит в единицу времени через единицу изотермической поверхности при единичном градиенте температуры. Он определяется экспериментальным путем. В настоящее время разработаны методы определения коэффициента λ как при нестационарном, так и при стационарном тепловом режиме.

 

3.13. Определение коэффициента

температуропроводности методом регулярного режима

 

В п. 3.12 отмечалось, что методы определения термических характеристик делятся на стационарные и нестационарные. Метод регулярного режима относится к нестационарным.

Понятие регулярного режима было введено Г. М. Кондратьевым при изучении теплообмена тел в среде с постоянной температурой. Установлено, что процесс охлаждения однородного и изотропного тела различной геометрической формы можно разделить на три стадии (рис. 3.5). Первая стадия режима охлаждения — неупорядоченная стадия (скорость измерения температуры внутри тела зависит от вида начального распределения температуры). Вторая стадия (регулярный режим) — процесс охлаждения — определяется условиями на границе тела и окружающей его среды, физическими свойствами тела, его геометрической формой и размерами. На третьей стадии (стационарный режим) температура во всех точках тела равна температуре окружающей среды.

Процесс охлаждения тела при регулярном режиме может быть описан формулой

 

(3.49)

 

где — так называемая избыточная температура, равная разности между температурой тела t и температурой окружающей среды tc; C — постоянный коэффициент, определяемый начальными условиями; m темп изменения температуры в данной точке тела; τ — время.

Из формулы (3.49) видим, что температура тела убывает во времени по экспоненциальному закону.

Продифференцируем выражение (3.49) по времени, получим

 

(3.50)

 

Рис. 3.5. График определения темпа охлаждения тела [8]

I, II, III — стадии охлаждения тела.

 

Решив совместно (3.50) и (3.49), найдем

 

(3.51)

 

или, разделив переменные,

 

(3.52)

 

Интегрирование уравнения (3.52) дает выражение для нахождения темпа охлаждения (нагревания)

(3.53)

 

При наступлении регулярного режима темп охлаждения не зависит ни от координат, ни от времени и является величиной постоянной для всех точек тела. Установлено также, что если коэффициент теплоотдачи a → ∞, то имеет место соотношение

 

a = ki m,                                   (3.54)

 

где a — коэффициент температуропроводности; ki коэффициент пропорциональности (коэффициент формы), определяемый формой и геометрическими размерами тела. Этот коэффициент для различной формы тел можно рассчитать по формулам. Например:

 

для шара

k1 = 1/(π/R)2,                                 (3.55)

 

для цилиндра конечной длины

k2 = 1/[(2,405/R)2 + (π/l)2],                       (3.56)

 

для параллелепипеда

k3 = 1/[(π/l1)2 + (π/l2)2 + (π/l3)2],                (3.57)

 

где R — радиус шара или цилиндра; l — длина цилиндра; l1, l2, l3 — длина сторон параллелепипеда.

Решив совместно уравнения (3.54) и (3.53), найдем

 

(3.58)

 

Таким образом, чтобы определить коэффициент температуропроводности изучаемого тела a, необходимо в эксперименте найти два значения избыточной температуры  и , относящиеся соответственно к моментам времени τ1 и τ2.

Схема экспериментальной установки для определения коэффициента температуропроводности приведена на рис.3.6. Она состоит из сосуда с водой 1, где происходит процесс охлаждения тела 2, помещенного в шаровой сосуд из теплопроводного материала (меди) и нагретого предварительно в термостате, термопары 3, один спай которой помещен внутрь исследуемого тела, а второй находится в охлаждающей жидкости, мешалки 4.

 

 

Рис. 3.6. Схема установки для определения коэффициента

температуропроводности [8]

 

После измерения температуры тела t и окружающей среды tc строится кривая изменения температуры во времени в координатах   τ (рис.3.5). На участке кривой, где линейно зависит   от τ (соответствует регулярному режиму охлаждения), определяем угловой коэффициент m темп изменения температуры. Затем рассчитываем коэффициент температуропроводности a по формуле (3.58), предварительно определив ki, по формуле (3.55).

3.14. Определение коэффициента

температуропроводности по полевым наблюдениям

 

Нередко возникает необходимость определения коэффициента температуропроводности почвогрунта, снега, льда и других материалов в полевых условиях. Эту задачу можно осуществить, организовав наблюдения за температурой по глубине изучаемой толщи (рис. 3.7).

При этом получают интегральное значение коэффициента температуропроводности, отражающего температуропроводность изучаемой толщи как многофазной среды, и предполагается, что имеет место только молекулярная теплопроводность.

 

 

Рис. 3.7. Схема расположения по глубине точек наблюдения

за температурой [8]

I, II — слои, на границах которых измеряется температура; 1, 2—кривые хода температуры по глубине в моменты времени τ1 и τ2.

 

Воспользуемся уравнением теплопроводности для нестационарного одномерного температурного поля (3.36), записанного в конечных разностях:

 

Dt/Dτ = a D2t/Dz2.                                (3.59)

 

Это уравнение можно переписать следующим образом:

 

(3.60)

 

откуда

 

(3.61)

 

 

где Δz — шаг по глубине толщи грунта;        и       — температура на глубине z соответственно в моменты времени τ1 и τ2;

и — 

 

 

- градиенты температуры в выше (I) и нижележащем (II) слое по отношению к горизонту z в момент времени τ1. Из формулы (3.61) видно, что для оценки коэффициента температуропроводности a для данного грунта необходимо измерить температуру на трех горизонтах толщи. В этом эксперименте следует обратить внимание на характер теплового процесса: в период наблюдений он должен отвечать условиям охлаждения или нагревания.


На Лекцию 3-4
На Лекцию 6

Copyright © 2002-2007 ГОУ Московский государственный университет природообустройства.                                                                                                           Наш e-mail: mailto:web-msuee@rambler.ru
Руководитель проекта: В.В. Шабанов
Дизайн и програмирование: Сиранчиев К.А.